Актриса снималась в кино с 1950 года, а с 1958 года начала играть в Малом театре. Любовь зрителей ей принесла роль Аксиньи в экранизации романа Михаила Шолохова «Тихий Дон».
4 апреля Быстрицкая отметила свой 91-й день рождения. Тогда актрису поздравил президент России Владимир Путин. «Вы всегда трудитесь вдохновенно, с полной самоотдачей», — подчеркнул глава государства в своем поздравлении, которое было опубликовано на сайте Кремля.
В последние годы артистка боролась с тяжелой болезнью. «Сегодня в больнице в реанимации после тяжелой, продолжительной болезни скончалась звезда театра и кино Элина Быстрицкая», — сообщила директор Малого театра Тамара Михайлова. В данный момент родные актрисы еще не заявили о времени и месте похорон. Тем не менее «РИА Новости» пишет, что, возможно, прощание с Быстрицкой состоится в понедельник в театре, где она работала. Друзья народной артистки СССР выразили надежду, что она будет похоронена на Новодевичьем кладбище.